Đầu tiên, chúng ta cần xem lại khái niệm về số nguyên tố:

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ không phải là tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn (hay số tự nhiên chỉ có $4$ ước số duy nhất là $\pm 1$ và $\pm$ chính nó).

Dễ dàng nhận thấy rằng, số nguyên tố chẵn duy nhất tồn tại là $2$, vì tất cả các số chẵn khác đều có $6$ ước số trở lên. Vậy nên, tất cả số nguyên tố khác ngoại trừ $2$ đều phải là số lẻ, có dạng $2k + 1$ $(k \in \mathbb{N} \text{ và } k \ge 1)$, $k$ phải lớn hơn hoặc bằng $1$ vì nếu $k = 0$ thì số đó sẽ là $1$, không phải số nguyên tố, vậy nên không xét trường hợp này.

Xét tổng của hai số nguyên tố khác $2$, tức là tổng của hai số nguyên tố lẻ:

$$\mathbb{S} = x_0 + x_1 = (2k_0 + 1) + (2k_1 + 1) = 2 \times (k_0 + k_1) + 2 = 2 \times (k_0 + k_1 +1)$$

Nhận thấy $\mathbb{S}$ có dạng $2k$, nên $\mathbb{S}$ sẽ là một số chẵn, dễ dàng thấy được số này thuộc tập bội của $2$ $[\mathbb{S} \in B(2); 2\in Ư(\mathbb{S})]$, chắc chắn không phải là số nguyên tố.

Để củng cố cho lập luận trên, ta đã biết rằng $k \ge 1$, vậy nên:

$$\mathbb{S}_{min} = 2 \times (k_{0 \text{ min}} + k_{1 \text{ min}} + 1) = 2 \times (1 + 1 + 1) = 2 \times 3 = 6 \Rightarrow \text{Không phải số nguyên tố}$$

Chứng minh tương tự với các giá trị $k0, k1$ khác bằng phương pháp quy nạp.

Để thỏa mãn được yêu cầu đề bài, ta chỉ xét trường hợp giữa số nguyên tố chẵn (duy nhất là số $2$, như đã chứng minh) và một số nguyên tố lẻ bất kỳ, sao cho tổng của chúng cũng là một số nguyên tố.

Áp dụng vào bài tập này, ta chỉ cần xét $3$ vế:

• Xét từng số trong đoạn từ $i \in [3; n] \, \& \, i \in \mathbb{N}$ (không xét trường hợp $n = 1$ và $n = 2$ vì $1$ không phải là số nguyên tố và số $2$ là số nguyên tố nhỏ nhất, nó không thể là tổng của hai số nguyên tố khác được)

  • Số $i$ là một số nguyên tố
  • Số $i - 2$ là một số nguyên tố
  • Số $2$ là một số nguyên tố (luôn đúng)